刘云涛 http://www.csjkc.com/zjtd/421.html

著名的组织行为学者，美国密执安大学教授卡尔·韦克转述了一个绝妙的实验：把六只蜜蜂和六只苍蝇装进一个玻璃瓶中，敞开口，然后将瓶子平放，让瓶底朝着窗户，会发生什么情况呢？

你会看到，蜜蜂不停地想在瓶底上找到出口，一直到它们力竭倒毙或饿死；而苍蝇则会在不到两分钟之内，从瓶口飞出逃逸一空。

实际上，历史经验并不是不靠谱，而是因为环境和时间的差异。蜜蜂以为，囚室的出口必然在光线最明亮的地方，它们不停地重复着这种合乎逻辑的行动。

那些愚蠢的苍蝇则对事物的逻辑毫不留意，全然不顾亮光的吸引，四下乱飞，结果误打误撞地碰上了好运气。

韦克总结到：“这件事说明，实验、坚持不懈、试错、冒险、即兴发挥、最佳途径、迂回前进、混乱、刻板和随机应变，所有这些都有助于应付变化。”

可以理解成韦克的观点是，对付不确定性的办法，是在瞬变时刻赋予事物以合理性，就像上述实验中的苍蝇一样。

这意味着，面对趋于复杂的世界，如果你想使之成理，就必须拥有随机性的智慧而不是教条式的智慧——突破定式。而随机的智慧在于能够在危机中发现机会，在问题中找到商机。

只有善于借鉴和继承前人经验，又勇于开拓创新，才能离成功更近。

著名教授普朗克发现了量子力学假设和普朗克公式，但他并不开心，反而很是沮丧。因为这一发现破坏了他一直崇拜，并虔诚地信奉为权威的牛顿定律。他最终宣布取消自己的假设，使物理学理论停滞了几十年。

正是由于普朗克死守前人经验，陷于经验牢笼无法自拔，才使成功与之擦肩而过。试想，如果当时普朗克挣脱了经验的束缚，又怎么会使物理学停滞不前？

我们学习数学知识也如此。

知识要点

1.锐角三角函数的定义

2.特殊角的三角函数值

3.解直角三角形

①定义：一般地，直角三角形中，除直角外，共有5个元素，即3条边和2个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形。

②直角三角形的可解条件和基本类型.

通过解决与测量有关的简单实际问题，学会把实际问题转化为数学问题（解直角三角形问题），提高综合运用所学知识解决问题的能力和“用数学”的意识准确理解有关测量问题的一些概念：仰角，俯角，坡角，坡比，方向角等.

因直角三角形的元素之间有很多关系，故用已知元素求未知元素的途径常不唯一，选择下面的约定较为合理而有效：有斜用弦，无斜用切，宁乘勿除.

解直角三角形的选用关系式归纳为口诀：

已知斜边求直边，正弦余弦很方便；

已知直边求直边，正切余切理当然；

已知两边求一边，勾股定理最方便；

已知两边求一角，函数关系要选好；

已知锐角求锐角，互余关系要记好；

已知直边求斜边，用除还需正余弦；

计算方法要选择，能用乘法不用除。

用解直角三角形解决的实际问题

运用解直角三角形知识来解决应用问题，要在充分理解题意的基础上，将实际问题抽象为数学问题，建立起与解直角三角形知识有关的数学模型，计算时要力求准确，并会按要求的精确度进行近似计算．

应用直角三角形的边角关系解决实际问题有着非常广泛的应用，其中测量物体的高度、水平距离等实际问题是每年的中考热点问题．解决这类问题应掌握一定的解题策略。

策略一、找出可以求解的直角三角形或构造出可以求解的直角三角形作为解题的突破口；

策略二、弄清题意，明确目标，将实际问题转化为利用直角三角形的边角关系解决的数学问题；

策略三、当找不到可解的直角三角形时，要仔细分析已知条件和未知元素之间的关系，利用直角三角形边角关系的有关知识，列出方程求解。

典型问题

例1．（淮阴区模拟）如图，点A、B、O都在格点上，则∠AOB的正弦值是（ 　　）

变式1．（宜宾中考题）如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝5，BC＝3，将△BCD沿BD折叠到△BED位置，DE交AB于点F，则cos∠ADF的值为（ 　　）

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠A＝90°，AB∥CD，AD＝BC＝3，AB＝CD＝5，∴∠BDC＝∠DBF，

由折叠的性质可得∠BDC＝∠BDF，

∴∠BDF＝∠DBF，∴BF＝DF，

变式2．（广元中考题）如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，A、B、C、D都在格点处，AB与CD相交于点P，则cos∠APC的值为（ 　　）

变式4．（常州中奥特）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠ABC＝90°，DB平分∠ADC．若AD＝1，CD＝3，则sin∠ABD＝ 　　．

过点D作DE⊥BC，垂足为E，如图，

∵∠A＝∠ABC＝90°，∴AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD，

∵DB平分∠ADC，∴∠ADB＝∠CDB，∴∠CDB＝∠CBD＝3，

∵AD＝BE＝1，∴CE＝BC﹣BE＝3﹣1＝2，

例2．（绥化中考题）定义一种运算：

sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ，

sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ．

解直角三角形的几种基本图形

解直角三角形的方法：(1)解直角三角形，当所求元素不在直角三角形中时，应作辅助线构造直角三角形，或寻找已知直角三角形中的边角替代所要求的元素；(2)解决实际问题的关键是构造几何模型，大多数问题都需要添加适当的辅助线，将问题转化为解直角三角形的问题．

模型1背靠背型（在三角形内部作高）

模型分析：

通过在三角形内作高，构造出两个直角三角形求解，其中公共边是解题的关键.

等量关系：

在Rt△ACD和Rt△BCD中，CD为公共边，AD+BD=AB.

图形演变：

例3．（陕西中考题）如图，AD是△ABC的高．若BD＝2CD＝6，tanC＝2，则边AB的长为（ 　　）

变式2．（岳阳中考题）喜迎二十大，“龙舟故里”赛龙舟．丹丹在汨罗江国际龙舟竞渡中心广场点P处观看米直道竞速赛．如图所示，赛道AB为东西方向，赛道起点A位于点P的北偏西30°方向上，终点B位于点P的北偏东60°方向上，AB＝米，则点P到赛道AB的距离约为 　　米。

变式3．（黔东南州中考题）如图，校园内有一株枯死的大树AB，距树12米处有一栋教学楼CD，为了安全，学校决定砍伐该树，站在楼顶D处，测得点B的仰角为45°，点A的俯角为30°．小青计算后得到如下结论：①AB≈18.8米；②CD≈8.4米；③若直接从点A处砍伐，树干倒向教学楼CD方向会对教学楼有影响；④若第一次在距点A的8米处的树干上砍伐，不会对教学楼CD造成危害．其中正确的是　．

∴AB＞AD，∴若直接从点A处砍伐，树干倒向教学楼CD方向会对教学楼有影响，故③正确；

∵AB﹣8＝18.8﹣8＝10.8（米），∴10.8米＜13.6米，

若第一次在距点A的8米处的树干上砍伐，不会对教学楼CD造成危害，

故④正确；∴小青计算后得到如上结论，其中正确的是：①③④，

故答案为：①③④．

模型2母子型（在三角形外部作高）

模型分析：

通过在三角形外作高，构造出两个直角三角形求解，其中公共边是解题的关键.

等量关系：

在Rt△ABC和Rt△DBC中，BC为公共边，AD+DC=AC.

图形演变1：

图形演变2：

例4．（恩施州中考题）如图，湖中一古亭，湖边一古柳，一沉静，一飘逸，碧波荡漾，相映成趣．某活动小组赏湖之余，为了测量古亭与古柳间的距离，在古柳A处测得古亭B位于北偏东60°，他们向南走50m到达D点，测得古亭B位于北偏东45°．求古亭与古柳之间的距离AB的长。

变式1．（娄底中考题）“体育承载着国家强盛、民族振兴的梦想”．墩墩使用握力器（如实物图所示）锻炼手部肌肉．如图，握力器弹簧的一端固定在点P处，在无外力作用下，弹簧的长度为3cm，即PQ＝3cm．开始训练时，将弹簧的端点Q调在点B处，此时弹簧长PB＝4cm，弹力大小是N，经过一段时间的锻炼后，他手部的力量大大提高，需增加训练强度，于是将弹簧端点Q调到点C处，使弹力大小变为N，已知∠PBC＝°，求BC的长．

注：弹簧的弹力与形变成正比，即F＝kΔx，k是劲度系数，Δx是弹簧的形变量，在无外力作用下，弹簧的长度为x0，在外力作用下，弹簧的长度为x，则Δx＝x﹣x0．

变式2．（孝感中考题）如图，有甲乙两座建筑物，从甲建筑物A点处测得乙建筑物D点的俯角α为45°，C点的俯角β为58°，BC为两座建筑物的水平距离．已知乙建筑物的高度CD为6m，则甲建筑物的高度AB为_____m．（sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60，结果保留整数）．

过点D作DE⊥AB于点E，则BE＝CD＝6m，∠ADE＝45°，∠ACB＝58°，在Rt△ADE中，∠ADE＝45°，设AE＝xm，则DE＝xm，BC＝xm，AB＝AE+BE＝（6+x）m.

变式3．（衡阳中考题）回雁峰座落于衡阳雁峰公园，为衡山七十二峰之首．王安石曾赋诗联“万里衡阳雁，寻常到此回”．峰前开辟的雁峰广场中心建有大雁雕塑，为衡阳市城徽．某课外实践小组为测量大雁雕塑的高度，利用测角仪及皮尺测得以下数据：如图，AE＝10m，∠BDG＝30°，∠BFG＝60°．已知测角仪DA的高度为1.5m，则大雁雕塑BC的高度约为　　m．

模型3拥抱型

模型分析：

分别解两个直角三角形，其中公共边是解题的关键。

等量关系：

在Rt△ABC和Rt△DCB中，BC=BC.

图形演变：

例5.直升飞机在跨江大桥AB的上方P点处，此时飞机离地面的高度PO=米，且A、B、O三点在一条直线上，测得大桥两端的俯角分别为α=30°，β=45°，求大桥的长AB．

变题1：直升飞机在长米的跨江大桥AB的上方P点处，且A、B、O三点在一条直线上，在大桥的两端测得飞机的仰角分别为30°和45°，求飞机的高度PO．

变题2：直升飞机在高为米的大楼AB上方P点处，从大楼的顶部和底部测得飞机的仰角为30°和45°，求飞机的高度PO．

解析：将问题转化为两个直角三角形组合图形中加以解决，可割可补。即过A作AC⊥PO，要求PO长，此时CO=AB=，只需求出PC即可；或是过P作PC垂直BA延长线于点C，求出AC。不管哪种方法，必须注意所设未知数是哪条边，如果不是直接设PO为未知数，则一定要注意最后的结果必须是PO的长。

变题3：直升飞机在高为米的大楼AB左侧P点处，测得大楼的顶部仰角为45°，测得大楼底部俯角为30°，求飞机与大楼之间的水平距离．

解析：本题可以以AB长为等量关系，充分利用好45度角的特点，即PD=AD，

说明：从以上“一例三变”不难看出，将实际问题转化为数学问题，关键要画好示意图，从实际问题抽象出数学模型，如果是单个直角三角形，则直接解直角三角形，如果是一般三角形，甚至是梯形或组合图形，则通过作高将其转化为直角形再求解，而解直角三角形的常用方法是结合方程进行计算。

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